【数学应知道】布莱克-斯科尔斯方程推导

作者：Alon Sela，翻译：蒋迅

摘要

在这篇文章中，我将解释布莱克-斯科尔斯方程 (Black Scholes Equation) 以及如何推导它。我们将看到对冲投资组合 (hedged portfolio) 和布莱克斯科尔斯方程之间的联系。

背景

我们想评估一个期权 (option)。我们用来表示该期权。无论是看涨期权 (Call option) 还是看跌期权 (Put option) 都没有关系。该选项是多个变量的函数

• : 在时刻 的基础资产价值 (underlying asset value)

• : 时间

• : 基础回报 (underlying return)

• : 潜在波动性 (underlying volatility)

• : 行权价 (strike price)

• : 到期 (maturity)

• : 无风险利率 (Risk free rate)

注：, 是给定的，因为基础资产有一定的期望值和标准差。我们把它们当作常数。

和 固定在期权的规格中，因为期权是某种带有条款的合同。

是市场无风险利率并假设保持不变。

唯一假设发生变化的是基础资产价格 和时间 。因此，我们不必包括所有参数，而是将选项的值表示为 。现在考虑固定资产变化的随机微分方程

其中 是确定性部分，也称为漂移，是随机部分，也称为随机性。

构建对冲投资组合

考虑一个投资组合，以 为符号，由期权 和一定数量 的固定资产 组成

它的意思是，我们买入 并卖出 数量的 。这个投资组合的现金价值未知，因为我们不知道期权的价值是多少。投资组合 在一段微小时间内的变化是

让我们根据两个变量的泰勒展开来检查 项

注意 而且 ，所以

于是我们得到

因此

我们现在来分析 项。

所以

回忆有 。将这个表达式带入 ，我们得到

对冲投资组合

现在我们终于可以谈论对冲了。如果 ，那么我们就去掉了随机性。我们可以把方程写为

注意我们无法选择或改变 ，因为它们不由我们控制。因此，让这个表达式为零的唯一办法就是让。这意味着

这就是著名的 表达式，也称为对冲比率，即为了消除风险，需要购买多少单位的基础资产。如果我们选择 作为期权对标的资产价格 的一阶导数，那么我们就排除了随机性，因此得到了仅依赖于时间的东西。选择 后，我们得到

.

如果我们选择，那么投资组合的变化仅仅是由于时间，也就是说是确定性的。

项完全消失，这意味着我们实际上并不关心基础资产的预期回报。

与现金比较

假设我们不将资金投资于价值为 的投资组合，而是拿出 金额的现金，以无风险利率 投资一段 的时间。那么，在投资期结束时，我们将拥有 现金。这笔现金金额在短时间内的变化将是

根据“无套利”声言声明，如果无风险的 现金量产生 ，则价值为 的投资组合没有任何风险，在我们投资相同数量的现金时，两者应该相等。如果不是这种情况，我们可以买入较便宜的，卖出昂贵的，从而获得无风险利润。因此，投资组合的变化应该等于现金余额的变化。

回想一下，我们开始于 。因此

这就是布莱克-舒尔斯方程

解这个方程时，我们得到了布莱克-舒尔斯期权定价公式。请注意，、和 的定义如下

因此，我们得到了布莱克-斯科尔斯方程的一个漂亮表示形式：

原文出处：https://www.alon-sela.com/quantitative-finance/black-scholes-equation